Хорда как выглядит

Хорда окружности – определение, свойства, теорема

Хорда как выглядит

Каждая хорда имеет свою длину. Ее можно определить с помощью теоремы синусов. То есть длина хорды окружности зависит от радиуса и вписанного угла, опирающегося на данный отрезок.

Формула для определения длины выглядит следующим образом: B*A = R*2 * sin α, где R — радиус, AB — это хорда, α — вписанный угол.

Также длину можно вычислить через другую формулу, которая выводится из теоремы Пифагора: B*A = R*2 * sin α/2 , где AB — это хорда, α — центральный угол, который опирается на данный отрезок, R — радиус.

Если рассматривать хорды в совокупности с дугами, то получаются новые объекты. Например, в кругу можно дополнительно выделить две области: сектор и сегмент. Сектор образуется с помощью двух радиусов и дуги. Для сектора можно вычислить площадь, а если он является частью конуса, то еще и высоту. Сегмент, в свою очередь, это область, состоящая из отрезка и дуги.

Для того чтобы проверить правильность своего решения в нахождении длины, можно обратиться к онлайн-калькуляторам в интернете. Они представлены в виде таблицы, в которую нужно вписать только известные параметры, а программа сама выполнит необходимые вычисления.

Это очень полезная функция, так как не приходится вспоминать различные уравнения и производить сложные расчеты.

Свойства отрезка окружности

Для решения геометрических задач необходимо знать свойства хорды окружности. Для нее характерны такие показатели:

  1. Это отрезок с наибольшей длиною в окружности это диаметр. Он обязательно будет проходить через центр круга.
  2. Если есть две равные дуги, то их отрезки, которые их стягивают, будут равны.
  3. Хорда, которая перпендикулярна диаметру, будет делить этот отрезок и его дугу на две одинаковые части (справедливо и обратное утверждение).
  4. Самый маленький отрезок в окружности это точка.
  5. Хорды будут равны, если они находятся на одном расстоянии от центра окружности (справедливо и обратное утверждение).
  6. При сравнении двух отрезков в кругу большая из них окажется ближе к центру окружности.
  7. Дуги, которые находятся между двумя параллельными хордами, равны.

Помимо основных свойств отрезка круга, нужно выделить еще одно важное свойство. Оно отражено в теореме о пересекающихся хордах.

Ключевая теорема

Имеется круг с центром в точке O и радиусом R. Для теоремы нужно в круг вписать две прямые, пускай это будут хорды BA и CD, которые пересекаются в точке E. Перед тем как перейти к доказательству, нужно сформулировать определение теоремы.

Оно звучит следующим образом: если хорды пересекаются в некоторой точке, которая делит их на отрезки, то произведения длин отрезков первой хорды равно произведению длин отрезков второй хорды. Для наглядности можно записать эту формулу: AE*BE= EC*ED.

Теперь можно перейти к доказательству.

Проведем отрезки CB и AD. Рассмотрим треугольники CEB и DEA. Известно, что углы CEB и DEA равны как вертикальные углы, DCB и BAD равны за следствием с теоремы про вписанные углы, которые опираются на одну и ту же дугу. Треугольники CEB и DEA подобны (первый признак подобия треугольников). Тогда выходит пропорциональное соотношение BE/ED = EC/EA. Отсюда AE*BE= EC*ED.

Помимо взаимодействия с внутренними элементами окружности, для хорды еще существуют свойства при пересечении с секущейся и касательными прямыми. Для этого необходимо рассмотреть понятия касательная и секущая и определить главные закономерности.

Касательная — это прямая, которая соприкасается с кругом только в одной точке. И если к ней провести радиус круга, то они будут перпендикулярны. В свою очередь, секущая — это прямая, которая проходит через две точки круга. При взаимодействии этих прямых можно заметить некоторые закономерности.

Касательная и секущая

Существует теорема о двух касательных, которые проведены с одной точки. В ней говорится о том, что если есть две прямые OK и ON, которые проведены с точки O, будут равны между собой. Перейдем к доказательству теоремы.

Рассмотрим два прямоугольных треугольника AFD и AED. Поскольку катеты DF и DE будут равны как радиусы круга, а AD — общая гипотенуза, то между собой данные треугольники будут равны за признаком равенства треугольников, с чего выходит, что AF = AE.

Если возникает ситуация, когда пересекаются касательная и секущая, то в этом случае также можно вывести закономерность. Рассмотрим теорему и докажем, что AB 2 = AD*AC.

Предположим у нас есть касательная AB и секущая AD, которые берут начало с одной точки A. Обратим внимание на угол ABC, он спирается на дугу BC, значит, за свойством значение его угла будет равно половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

За свойством вписанного угла, величина угла BDC также будет равно половине дуги BC. Таким образом, треугольники ABD и ABC будут подобны за признаком подобия треугольников, так как угол A — общий, а угол ABC равен углу BDC.

Опираясь на теорию, получаем соотношение: AB/CA = DA/AB, переписав это соотношение в правильную форму, получаем равенство AB 2 = AD*AC, что и требовалось доказать.

Как есть теорема про две касательные, так есть и теорема про две секущие. Она так же просто формулируется, как и остальные теоремы. Поэтому рассмотрим доказательство и убедимся, что AB*AC = AE*AD.

Проведем две прямые через точку A, получим две секущие AC и AE. Дорисуем две хорды, соединяя точки C и B, B и D. Получим два треугольника ABD И CEA. Обратим внимание на вписанный четырехугольник BDCE. За свойством вписанных четырехугольников узнаем, что значения углов BDE и ECB в сумме будут давать 180 градусов. И сумма значений углов BDA и BDE также равна 180, за свойством смежных углов.

Отсюда можно получить два уравнения, из которых будет выведено, что углы ECB и BDA будут равны: BDA + BDE = 180; BDE + ECB = 180. Все это записываем в систему уравнений, отнимаем первое от второго, получаем результат, что ECB = BDA.

Если вернутся к треугольникам ABD И CEA, то теперь можно сказать, что они подобны, так как угол А — общий, а углы ECA и BDA — равны. Теперь можно записать соотношение сторон: AB/AE = AD/AC. В итоге получим, что AB*AC = AE*AD.

Решение задач

При решении задач, связанных с окружностью, хорда часто выступает главным элементом, опираясь на который можно найти остальные неизвестные элементы. В каждой второй задаче задаются два параметра, чтобы найти третий неизвестный. В задачах, которые, связанные с кругом, хорда — это обязательный элемент:

  • Найти высоту детали, которая была получена путем сгибания заготовки в дугу. В начальных данных обязательно присутствует хорда и длина дуги.
  • Дана развертка, нужно найти длину части кольца. Задается хорда и диаметр.
  • Также можно находить длину хорды. В случае если заданы уравнения прямой и окружности, которые пересекаются.

Для решения задач с отрезком в окружности удобно использовать схематические рисунки. Их рисуют с помощью линейки и циркуля, и принцип решения задач становится более наглядным.

Источник: https://nauka.club/matematika/geometriya/khorda-okruzhnosti.html

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Хорда как выглядит

Справочник по математикеГеометрия (Планиметрия)Окружность и круг
ФигураРисунокОпределение и свойства
Окружность      Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Круг   Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус      Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда      Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр      Хорда, проходящая через центр окружности.Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательная     Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущая      Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Окружность
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки – центра окружности
Круг
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Радиус
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Хорда
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Диаметр
Хорда, проходящая через центр окружности.Диаметр является самой длинной хордой окружности
Касательная
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Секущая
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги
У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПроизведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:Посмотреть доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиЕсли к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.AB = ACПосмотреть доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСправедливо равенствоПосмотреть доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСправедливо равенство:Посмотреть доказательство
Пересекающиеся хорды
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:Посмотреть доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.AB = ACПосмотреть доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Справедливо равенствоПосмотреть доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Справедливо равенство:Посмотреть доказательство
Пересекающиеся хорды
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:Посмотреть доказательство
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.AB = ACПосмотреть доказательство
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Справедливо равенствоПосмотреть доказательство
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Справедливо равенство:Посмотреть доказательство

      Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Рис. 1

      Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 2 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Рис. 2

      Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC, проходящей через точку касания B. Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC.

Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC. Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны).

Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

      Теорема 3 . Предположим, что из точки A, лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Рис. 3

      Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

      Доказательство. Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Рис. 4

      Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

      Теорема о бабочке. Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Рис. 5

      Доказательство. Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B. Теперь введём следующие обозначения:

      Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG, получим

(1)

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG, получим

(2)

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Поэтому

      Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL, получим равенство

откуда вытекает равенство

x = y ,

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

      На сайте можно также ознакомиться с нашими учебными материалами для подготовки к ЕГЭ и ОГЭ по математике.

Источник: https://www.resolventa.ru/demo/training.htm

Секущие и хорды в окружности. Подробная теория с примерами

Хорда как выглядит

Важное замечание!
Если вместо формул ты видишь абракадабру, почисти кэш. Как это сделать в твоем браузере написано здесь: «Как почистить кэш браузера».

Давай прежде всего вспомним, что такое секущая и хорда. Смотри на картинку:

Здесь   – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
Здесь   – хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Кстати, заметил ли ты, что на первом рисунке хорда   является кусочком секущей  ? Вот так всегда и бывает: если есть секущая, то один её кусок – хорда, а второй называется внешняя часть, ну, как у нас   – она же снаружи, верно?

Что же мы должны знать о секущих и хордах в окружности? Всего-то 2-3-4 утверждения. Давай начнём с того, что ты, возможно, уже читал в разделе “Теорема синусов” и “Теорема косинусов” – с длины хорды в окружности.

Длина хорды в окружности

Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  .Тогда 

Узнал теорему синусов?

Значит, длину хорды можно найти по формуле:

Обратите внимание: из этой формулы видно, что если ты знаешь радиус окружности и то, сколько градусов «сидит» в дуге, которую стягивает хорда, то ты можешь считать, что знаешь и длину хорды.

И наоборот, чтобы узнать радиус окружности, достаточно знать длину всего-то одной хорды в окружности и величину соответствующего вписанного угла. А можно центрального? Конечно, можно – центральный угол нужно будет просто-напросто поделить на   – и получится вписанный (если не помнишь этого – смотри тему «Окружность. Вписанный угол»).

Произведение длин отрезков хорд и секущих

Сейчас мы сформулируем очень важное, пожалуй, даже основное свойство хорд и секущих. Словами это свойство формулировать неудобно – получается длинно и некрасиво, поэтому ограничимся буквами.

Смотри:

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  
Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется: 

Вопрос первый: почему мы сформулировали утверждения друг под другом столбиком?

Ответ первый: Утверждения очень похожи – если закрыть картинки и слова, то получится просто одно и то же – удивительно, не правда ли? Ну, и это сходство гораздо лучше видно, когда утверждения стоят рядом.

Вопрос второй: Как не перепутать, что на что умножать?

Ответ второй: Смотри, точки на окружности мы отметили голубым, а «особенную» точку   – оранжевым. А теперь погляди внимательно на формулы с произведениями:

В каждом отрезке участвуют «особенная» точка  . Крайне важно это помнить, когда имеешь дело с секущими (с хордами почему-то всем легче). Осознай всё это и НИКОГДА НЕ ПИШИ ТАК:

Вопрос третий: а доказывать будем?

Ответ третий: Будем – это совсем несложно и ОЧЕНЬ полезно.

Итак, сперва о хордах. Повторим формулировку.

Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

А теперь попробуем доказать.

Рассмотрим   и  . У них углы   равны как вертикальные и  , потому что они опираются на одну дугу  .
Значит,   по двум углам (вспоминаем признаки подобия треугольников).

Запишем, что же нам даёт это подобие.

Перепишем это отношение в виде произведения:

Ух! Вот и всё – доказали!

На самом деле откроем маленький секрет – в задачах чаще всего используется именно подобие   и  , а не просто «голое» произведение  .

Теперь перейдём к секущим. Ещё раз формулировку:

Для любых двух секущих, проходящих через некоторую точку  , выполняется:  

Докажем? Снова рассмотрим   и  .

Значит,   (сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна  ). Но   – как смежные углы (смотри на картинку).

Что же получилось?

То есть  .

Из всего этого следует, что   по двум углам (  – общий и  ).

Снова запишем отношение соответствующих сторон:

Перепишем в виде произведения:

Доказали!

И опять тот же секрет: помни не только о равенстве произведений, но и о том, что на картинке с двумя секущими всегда и непременно есть два подобных треугольника – это часто помогает решить задачу.

Касательные и секущие

В предыдущем пункте мы выяснили, что  

Но возникает вопрос: а что будет, если секущая   и «превратится» в касательную? Вот так:

Видишь: осталось всего три зелёных точки? Оказывается, ничего страшного, всё почти так же. Формулируем:
Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:  .

Тут точки   и   как бы слились в одну – и на рисунке, и в формуле. Заметил?

Давай докажем то, что сформулировали.

 Здесь рассмотрим  и  .

  1.   – общий
  2.   – угол между касательной   и хордой  , а   – вписанный, опирающийся на дугу  .

Значит, по теореме об угле между касательной и хордой (заглядываем в раздел «Касательные, касающиеся окружности»).

Получилось, что   по двум углам (  – общий и  ).

Запишем отношения:

Снова перейдём к произведению:

И снова видим, что нужное утверждение доказано.

И в третий раз напомню о секрете: важно помнить не только то,  , но в большей степени то, что на картинке с касательной и секущей есть два «хитро» подобных треугольника   и  . Тогда ты сможешь извлекать и дополнительные соотношения.

Ну вот, например:

 , то есть  

Видишь, это уже совсем никак не запоминающееся соотношение, а вот если помнить про подобие, то ни дробь, ни произведение запоминать не надо – они сами выйдут, кода понадобятся.

Секущие и хорды в окружности. краткое изложение и основные формулы

Хорда и секущая

  • Здесь AC – секущая – начинается снаружи окружности и пересекает её в двух точках.
  • Здесь BC – хорда – отрезок, соединяющий две точки на окружности.

Длина хорды

  • Пусть   – хорда,   – радиус,   – любой вписанный угол, опирающийся на хорду  . Тогда:
     .

Произведение длин отрезков хорд и секущих

  • Для любых двух хорд, проходящих через некоторую точку  , выполняется:
     .

Касательные и секущие

  • Для любых секущей и касательной, проходящих через точку  , верно:
     .

ОСТАВШИЕСЯ 2/3 СТАТЬИ ДОСТУПНЫ ТОЛЬКО УЧЕНИКАМ YOUCLEVER!

Стать учеником YouClever,

Подготовиться к ОГЭ или ЕГЭ по математике по цене “чашка кофе в месяц”, 

А также получить бессрочный доступ к учебнику “YouClever”, Программе подготовки (решебнику) “100gia”, неограниченному пробному ЕГЭ и ОГЭ, 6000 задач с разбором решений и к другим сервисам YouClever и 100gia.

 

Источник: https://youclever.org/book/sekushhie-i-hordy-v-okruzhnosti-2

Доктор Дмитриев
Добавить комментарий